\textbf{约定：}
\begin{enumerate}
    \item 以下黎曼可积简称可积
    \vspace{1em}
    \item Dirichlet函数$D(x)=\begin{cases}
        1,& \text{如果} x \text{是有理数}\\
        0,& \text{如果} x \text{是无理数}\\
    \end{cases}$
    \vspace{1em}
    \item Riemann函数$\begin{aligned}
        R(x)=\begin{cases}
            1，&x=0\\
            1/q, & x=\frac{p}{q}(q>0,p,q\text{互素})\\
            0, & x\text{是无理数}
        \end{cases}
    \end{aligned}$
\end{enumerate}
\section{判断题，错误请说明理由}
\begin{enumerate}[(1)]
    \item Dirichlet函数在$[-1,1]$可积
    \item Riemann函数在无理点连续
    \item Riemann函数在$[0,1]$上可积
    \item $\phi(x)$是$[a,b]$上的连续函数,$\psi(x)$是$[c,d]$上的可积函数,且$\psi([c,d])\subset [a,b]$,则$\phi(\psi(x))$一定可积
    \item $\phi(x)$是$[a,b]$上的可积函数,$\psi(x)$是$[c,d]$上的可积函数,且$\psi([c,d])\subset [a,b]$,则$\phi(\psi(x))$一定可积
    \item 可积函数一定有原函数
    \item 如果函数$|f|$在$[a,b]$上可积,则$f$在$[a,b]$上一定可积
    \item 如果函数$f$在$[a,b]$上可积,则$|f|$在$[a,b]$上一定可积
\end{enumerate}
\section{计算题}
求导数：
$$\begin{aligned}G(x)=\int_{x^2}^{x^3}\sqrt{1+t^2}\mathrm{d}t
    \end{aligned}.$$
\section{证明题}
设 $f$ 在$[0,+\infty)$上连续，并恒取正值.证明：

$$
\varphi(x)=\frac{\displaystyle \int_0^xtf(t)\operatorname{d}t}{\displaystyle \int_0^xf(t)\operatorname{d}t}
$$

是$(0,+\infty)$上的严格递增函数.
\section{补充}
\begin{proposition}
    $\begin{aligned}
        \text{对任意的 }x_0\in\mathbf{R},\lim_{x\to x_0}D(x)\text{不存在}.
    \end{aligned}$
\end{proposition}
\begin{proof}
    对任意的$x_0\in \mathbf{R}$,一定存在全由有理数组成的数列$\{s_n\}$和全由无理数组成的数列  $\{t_n\}$,使它们都趋向于$x_0$,这样就有$$\lim_{n\to\infty}D(s_n)=1,\quad\lim_{n\to\infty}D(t_n)=0.$$
    ,即知$\begin{aligned}
        \lim_{x\rightarrow x_0} D(x)
    \end{aligned}$不存在.
\end{proof}
\begin{proposition}
    对任意的实数 $x_0$,证明：$\begin{aligned}
        \lim_{x\rightarrow x_0}R(x)=0
    \end{aligned}$
\end{proposition}
\begin{proof}
    对任意给定的 $\varepsilon>0$,取充分大的正整数 $q_0$,使得 $1/q_0<\varepsilon$.容易知道， 在区间$(x_0-1,x_0+1)$中，满足 0$<q\leq q_0$的分数 $p/q$ 只有有限多个.因此总能取到充分小的 $\delta>0$,使得$(x_0-\delta,x_0+\delta)$中的有理数的分母 $q>q_0$ .故当无理数 $x$ 满足$0<|x-x_0|<\delta$时，$R(x)=0;$当有理数$x=p/q$ 满足$0<|x-x_0|<\delta$ 时，必有$q>q_0$.因而

$$0\leq R(x)=\frac{1}{q}<\frac{1}{q_0}<\varepsilon.
$$

这就证明了 $\lim R(x)=0.$ 
\end{proof}
\begin{proposition}
    Dirichlet函数在有界闭区间上不可积
\end{proposition}
\begin{proposition}
    Riemann函数在有界闭区间上可积
\end{proposition}

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